Lección 7Encontremos un algoritmo para dividir fracciones

Objetivo de aprendizaje

Busquemos patrones al dividir entre una fracción.

Metas de aprendizaje

Puedo describir y aplicar una regla para dividir números entre cualquier fracción.
Puedo dividir un número entre una fracción no unitaria $\frac{a}{b}$ , al razonar con el numerador y el denominador, los cuales son números enteros.

Términos de la lección

recíproco

Calentamiento: Multipliquemos fracciones

Calcula cada expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 27$
$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}$
$\frac{2}{9} \cdot \frac{3}{5}$
$\frac{27}{100} \cdot \frac{200}{9}$
$(1 \frac{3}{4}) \cdot \frac{5}{7}$

Actividad 1: Dividamos entre fracciones no unitarias

Problema 1

Para encontrar el valor de $6 \div \frac{2}{3}$ , Elena comenzó por dibujar un diagrama de la misma manera que lo hizo para $6 \div \frac{1}{3}$ .

Completa el diagrama para mostrar cuántos $\frac{2}{3}$ hay en 6.
Ella dice: “Para encontrar $6 \div \frac{2}{3}$ , puedo simplemente tomar el valor de $6 \div \frac{1}{3}$ y después multiplicarlo por $\frac{1}{2}$ o dividirlo entre 2”. ¿Estás de acuerdo con ella? Explica tu razonamiento.

Problema 2

Para cada expresión de división, completa el diagrama usando el mismo método de Elena. Después, encuentra el valor de la expresión. Piensa en cómo podrías encontrar ese valor sin contar todos los pedazos de tu diagrama.

$6 \div \frac{3}{4}$
Valor de la expresión:
$6 \div \frac{4}{3}$
Valor de la expresión:
$6 \div \frac{4}{6}$
Valor de la expresión:

Problema 3

Elena analizó sus diagramas y observó que siempre hacía los mismos dos pasos para mostrar la división entre una fracción en un diagrama de cinta. Ella dijo:

“Mi primer paso fue dividir cada unidad del diagrama en tantas partes como las que representa el número en el denominador. Es decir, si la expresión es $6 \div \frac{3}{4}$ , parto cada unidad del diagrama en 4 pedazos. Ahora el número de pedazos que tengo es 4 veces el número de unidades.

Mi segundo paso fue poner cierto número de esos pedazos en un grupo, y ese número es el numerador del divisor. Es decir, si la fracción es $\frac{3}{4}$ , pongo cada 3 de los $\frac{1}{4}$ en un grupo. En ese momento puedo decir cuántos $\frac{3}{4}$ hay en 6”.

¿Qué expresión representa cuántos $\frac{3}{4}$ tendría Elena después de estos dos pasos? Prepárate para explicar tu razonamiento.

$6 \div 4 \cdot 3$
$6 \div 4 \div 3$
$6 \cdot 4 \div 3$
$6 \cdot 4 \cdot 3$

Problema 4

Usa el patrón que Elena identificó para encontrar los valores de estas expresiones. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.

$6 \div \frac{2}{7}$
$6 \div \frac{3}{10}$
$6 \div \frac{6}{25}$

¿Estás listo para más?

Encuentra el valor desconocido.

Actividad 2: Dividamos una fracción entre una fracción

Trabaja con un compañero. Una persona resuelve los problemas que tienen la etiqueta “Compañero A” y la otra los que tienen la etiqueta “Compañero B”.

Usa el applet para confirmar tus respuestas y explorar tus propios ejemplos.

Compañero A: Encuentra el valor de cada expresión completando el diagrama.
$\frac{3}{4} \div \frac{1}{8}$
¿Cuántos $\frac{1}{8}$ hay en $\frac{3}{4}$ ?
$\frac{9}{10} \div \frac{3}{5}$
¿Cuántos $\frac{3}{5}$ hay en $\frac{9}{10}$ ?
Compañero B.
Elena dijo: “Si quiero dividir 4 entre $\frac{2}{5}$ , puedo multiplicar 4 por 5 y después dividir entre 2 o multiplicar por $\frac{1}{2}$ ”.
Encuentra el valor de cada expresión usando la estrategia que describió Elena.
$\frac{3}{4} \div \frac{1}{8}$
$\frac{9}{10} \div \frac{3}{5}$
¿Qué observas en los diagramas y las expresiones? Discute con tu compañero.
Completa esta afirmación basado en tus observaciones:

Para dividir un número $n$ entre una fracción $\frac{a}{b}$ , podemos multiplicar $n$ por ________ y después dividir el producto entre ________.
Elige todas las ecuaciones que representan la afirmación que completaste.
1. $n \div \frac{a}{b} = n \cdot b \div a$
2. $n \div \frac{a}{b} = n \cdot a \div b$
3. $n \div \frac{a}{b} = n \cdot \frac{a}{b}$
4. $n \div \frac{a}{b} = n \cdot \frac{b}{a}$

versión impresa

Trabaja con un compañero. Una persona resuelve los problemas que tienen la etiqueta “Compañero A” y la otra los que tienen la etiqueta “Compañero B”.

Compañero A: Encuentra el valor de cada expresión completando el diagrama.
$\frac{3}{4} \div \frac{1}{8}$
¿Cuántos $\frac{1}{8}$ hay en $\frac{3}{4}$ ?
$\frac{9}{10} \div \frac{3}{5}$
¿Cuántos $\frac{3}{5}$ hay en $\frac{9}{10}$ ?
Compañero B.
Elena dijo: “Si quiero dividir 4 entre $\frac{2}{5}$ , puedo multiplicar 4 por 5 y después dividir entre 2 o multiplicar por $\frac{1}{2}$ ”.
Encuentra el valor de cada expresión usando la estrategia que describió Elena.
$\frac{3}{4} \div \frac{1}{8}$
$\frac{9}{10} \div \frac{3}{5}$
¿Qué observas en los diagramas y las expresiones? Discute con tu compañero.
Completa esta afirmación basado en tus observaciones:

Para dividir un número $n$ entre una fracción $\frac{a}{b}$ , podemos multiplicar $n$ por ________ y después dividir el producto entre ________.
Elige todas las ecuaciones que representan la frase que completaste.
1. $n \div \frac{a}{b} = n \cdot b \div a$
2. $n \div \frac{a}{b} = n \cdot a \div b$
3. $n \div \frac{a}{b} = n \cdot \frac{a}{b}$
4. $n \div \frac{a}{b} = n \cdot \frac{b}{a}$

Resumen de la lección

Para responder la pregunta “¿Cuántos $\frac{1}{3}$ hay en 4?” o “Cuánto es $4 \div \frac{1}{3}$ ?”, podemos pensar que hay 3 tercios en 1, así que hay $(4 \cdot 3)$ tercios en 4.

En otras palabras, dividir 4 entre $\frac{1}{3}$ da lo mismo que multiplicar 4 por 3.

$4 \div \frac{1}{3} = 4 \cdot 3$

En general, dividir un número entre una fracción unitaria $\frac{1}{b}$ es lo mismo que multiplicar el número por $b$ , que es el recíproco de $\frac{1}{b}$ .

¿Cómo podemos razonar sobre $4 \div \frac{2}{3}$ ?

Ya sabemos que hay $(4 \cdot 3)$ o 12 grupos de $\frac{1}{3}$ en 4. Para averiguar cuántos $\frac{2}{3}$ hay en 4, necesitamos agrupar cada 2 de los $\frac{1}{3}$ . Al hacerlo, tendremos la mitad de los grupos, que son 6 grupos. En otras palabras:

$4 \div \frac{2}{3} = (4 \cdot 3) \div 2$

$4 \div \frac{2}{3} = (4 \cdot 3) \cdot \frac{1}{2}$

En general, dividir un número entre una fracción $\frac{a}{b}$ es lo mismo que multiplicar el número por $\frac{b}{a}$ , que es el recíproco de la fracción.