Lección 11Volumen de prismas

Objetivo de aprendizaje

Examinemos el volumen de los prismas que tienen medidas fraccionarias.

Metas de aprendizaje

Puedo resolver problemas de volumen que involucren fracciones.
Sé cómo hallar el volumen de un prisma rectangular aun cuando las longitudes de las aristas no son números enteros.

Calentamiento: Una caja de cubos

Problema 1

¿Cuántos cubos con una arista de longitud 1 pulgada llenan esta caja?

Problema 2

Si los cubos tuvieran una arista de longitud 2 pulgadas, ¿necesitarías más o menos cubos para llenar la caja? Explica tu razonamiento.

Problema 3

Si los cubos tuvieran una arista de longitud $\frac{1}{2}$ pulgada, ¿necesitarías más o menos cubos para llenar la caja? Explica tu razonamiento.

Actividad 1: Volúmenes de cubos y prismas

Problema 1

Usa los cubos o el applet como ayuda para responder las siguientes preguntas.

Este es un dibujo de un cubo con una longitud de arista de 1 pulgada.

¿Cuántos cubos con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada se necesitan para llenar este cubo?
¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, de un cubo con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada? Explica o muestra tu razonamiento.

versión impresa

Tu profesor te entregará cubos que tienen una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada.

Este es un dibujo de un cubo con una longitud de arista de 1 pulgada.

¿Cuántos cubos con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada se necesitan para llenar este cubo?
¿Cuál es el volumen, en pulgadas cúbicas, de un cubo con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 2

Cuatro cubos están apilados en una sola torre para formar un prisma. Cada cubo tiene una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada. Dibuja el prisma y encuentra su volumen en pulgadas cúbicas.

Problema 3

Usa cubos con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada para construir prismas con los largos, anchos y alturas que se muestran en la tabla.

Para cada prisma, escribe en la tabla cuántos cubos de $\frac{1}{2}$ pulgada caben en el prisma y el volumen del prisma.
largo del prisma (in)
ancho del prisma (in)
altura del prisma (in)
número de cubos de $\frac{1}{2}$ pulgada dentro del prisma
volumen del prisma (in $^{3}$ )
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}$
$1$
$1$
$\frac{1}{2}$
$2$
$1$
$\frac{1}{2}$
$2$
$2$
$1$
$4$
$2$
$\frac{3}{2}$
$5$
$4$
$2$
$5$
$4$
$2 \frac{1}{2}$
Analiza los valores de la tabla. ¿Qué notas sobre la relación entre las longitudes de las aristas de cada prisma y su volumen?

largo del prisma (in)	ancho del prisma (in)	altura del prisma (in)
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$1$	$1$	$\frac{1}{2}$
$2$	$1$	$\frac{1}{2}$
$2$	$2$	$1$
$4$	$2$	$\frac{3}{2}$
$5$	$4$	$2$
$5$	$4$	$2 \frac{1}{2}$

Problema 4

¿Cuál es el volumen de un prisma rectangular de $1 \frac{1}{2}$ pulgada por $2 \frac{1}{4}$ pulgadas por 4 pulgadas? Muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Una fracción unitaria tiene un 1 en el numerador. Estas son fracciones unitarias: $\frac{1}{3}, \frac{1}{100}, \frac{1}{1}$ . Estas no son fracciones unitarias: $\frac{2}{9}, \frac{8}{1}, 2 \frac{1}{5}$ .

Encuentra tres fracciones unitarias cuya suma sea $\frac{1}{2}$ . Por ejemplo: $\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ ¿Cuántos ejemplos como este puedes encontrar?
Encuentra una caja cuya área de superficie en unidades cuadradas sea igual a su volumen en unidades cúbicas. ¿Cuántas así puedes encontrar?

Actividad 2: Cubos con aristas de longitud fraccionaria

Problema 1

Diego dice que se necesitan 108 cubos con una arista de longitud $\frac{1}{3}$ de pulgada para llenar un prisma rectangular de 3 pulgadas por 1 pulgada por $1 \frac{1}{3}$ pulgadas.

Explica o muestra por qué esto es verdad. Si tienes dificultades, puedes dibujar un diagrama.
¿Cuál es el volumen en pulgadas cúbicas del prisma rectangular? Explica o muestra tu razonamiento.

Problema 2

Lin y Noah están empacando cubos pequeños dentro de un cubo más grande con una arista de longitud de $1 \frac{1}{2}$ pulgadas. Lin está usando cubos con una arista de longitud de $\frac{1}{2}$ pulgada y Noah está usando cubos con una arista de longitud de $\frac{1}{4}$ de pulgada.

¿Quién necesitará más cubos para llenar el cubo de $1 \frac{1}{2}$ pulgadas? Prepárate para explicar tu razonamiento.
Si Lin y Noah usan sus cubos pequeños para encontrar el volumen del cubo más grande de $1 \frac{1}{2}$ pulgadas, ¿llegarían a la misma respuesta? Explica o muestra tu razonamiento.

Actividad 3: Acuario y molde para hornear

Problema 1

En un instituto de ciencias tienen un acuario con la forma de un prisma rectangular. El acuario mide 10 pies de largo, $8 \frac{1}{4}$ pies de ancho y 6 pies de alto.

¿Cuál es el volumen del acuario en pies cúbicos? Explica o muestra tu razonamiento.
El encargado del instituto de ciencias llenó $\frac{4}{5}$ del acuario con agua. ¿Cuál es el volumen de agua en el acuario, en pies cúbicos? ¿Cuál es la altura del agua en el acuario? Explica tu razonamiento.
Otro día, el acuario se llenó con 330 pies cúbicos de agua. ¿Qué fracción de la altura del acuario era la altura del agua? Muestra tu razonamiento.

Problema 2

La receta de Clare de pan de banano no cabe en su molde favorito. El molde es de $8 \frac{1}{2}$ pulgadas por 11 pulgadas por 2 pulgadas. La masa líquida llena el molde hasta lo más alto del borde, y cuando se hornea, la masa se derrama por los lados. Para evitar que se riegue, debería haber alrededor de una pulgada entre la parte superior de la masa líquida y el borde del molde.

Clare tiene otro molde de 9 pulgadas por 9 pulgadas por $2 \frac{1}{2}$ pulgadas. Si usa este molde, ¿se derramará la masa mientras se hornea?

¿Estás listo para más?

Problema 1

Encuentra el área de un rectángulo con lados de longitud $\frac{1}{2}$ y $\frac{2}{3}$ .

Problema 2

Encuentra el volumen de un prisma rectangular con aristas de longitud $\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{3}$ y $\frac{3}{4}$ .

Problema 3

¿Qué crees que pasa si seguimos multiplicando fracciones $\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{6} \dots$ ?

Problema 4

Encuentra el área de un rectángulo con lados de longitud $\frac{1}{1}$ y $\frac{2}{1}$ .

Problema 5

Encuentra el volumen de un prisma rectangular con aristas de longitud $\frac{1}{1}$ , $\frac{2}{1}$ y $\frac{1}{3}$ .

Problema 6

¿Qué crees que pasa si seguimos multiplicando fracciones $\frac{1}{1} \cdot \frac{2}{1} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{5} \dots$ ?

Resumen de la lección

Si un prisma rectangular tiene longitudes de arista de 2 unidades, 3 unidades y 5 unidades, podemos imaginarlo como 2 capas de cubos unitarios, con $(3 \cdot 5)$ cubos unitarios en cada capa. Así que el volumen, en unidades cúbicas, es $2 \cdot 3 \cdot 5$ .

Para encontrar el volumen de un prisma rectangular con longitudes de arista fraccionarias, podemos imaginarlo como si estuviera formado por cubos que tienen una fracción unitaria como longitud de arista. Por ejemplo, si construimos un prisma de $\frac{1}{2}$ pulgada de altura, $\frac{3}{2}$ pulgadas de ancho y 4 pulgadas de largo usando cubos con longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada, tendríamos:

Una altura de 1 cubo, ya que $1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ .
Un ancho de 3 cubos, ya que $3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$ .
Un largo de 8 cubos, ya que $8 \cdot \frac{1}{2} = 4$ .

El volumen del prisma sería $1 \cdot 3 \cdot 8$ , es decir, 24 unidades cúbicas. ¿Cómo encontramos su volumen en pulgadas cúbicas? Sabemos que cada cubo con una longitud de arista de $\frac{1}{2}$ pulgada tiene un volumen de $\frac{1}{8}$ de pulgada cúbica, porque $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ . Como el prisma se construyó usando 24 de estos cubos, su volumen, en pulgadas cúbicas, sería $24 \cdot \frac{1}{8}$ , es decir 3 pulgadas cúbicas.

El volumen del prisma, en pulgadas cúbicas, también se puede encontrar multiplicando las longitudes de arista fraccionarias en pulgadas: $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot 4 = 3$

Si un prisma rectangular tiene aristas de longitudes $a$ unidades, $b$ unidades y $c$ unidades, el volumen es el producto de $a$ , $b$ y $c$ . $V = a \cdot b \cdot c$

Esto quiere decir que si sabemos el volumen y la longitud de dos aristas, podemos dividir para encontrar la longitud de la tercera arista.

Supongamos que el volumen de un prisma rectangular es $400 \frac{1}{2}$ cm $^{3}$ , una arista mide $\frac{11}{2}$ cm, otra arista mide 6 cm y la tercera arista tiene una longitud desconocida. Para representar la situación, podemos escribir una ecuación de multiplicación: $\frac{11}{2} \cdot 6 \cdot ? = 400 \frac{1}{2}$

Podemos encontrar la longitud de la tercera arista dividiendo: $400 \frac{1}{2} \div (\frac{11}{2} \cdot 6) = ?$