Lección 14¿Los ceros importan?

Objetivo de aprendizaje

Representemos la suma y la resta de decimales.

Metas de aprendizaje

  • Puedo usar diagramas y cálculos verticales para representar y razonar sobre la suma y la resta de decimales.

  • Puedo usar el valor posicional para explicar la suma y la resta de decimales.

  • Sé cómo resolver problemas de resta con decimales que requieran “desagrupar” o “descomponer”.

Calentamiento: ¿Los ceros importan?

Problema 1

Calcula mentalmente:

Problema 2

Decide si cada ecuación es verdadera o falsa. Prepárate para explicar tu razonamiento.

Actividad 1: Hallemos sumas de diferentes maneras

Problema 1

Estas son dos maneras de calcular el valor de . En el diagrama, cada rectángulo representa 0.1 y cada cuadrado representa 0.01.

El applet tiene herramientas que crean cada uno de los bloques en base diez. Selecciona una herramienta Bloque y luego haz clic en la pantalla para colocarlo allí.

Unidad

Décima

Centésima

Haz clic en la herramienta Mover cuando hayas terminado de elegir los bloques.

Utiliza lo que sabes sobre unidades en base diez y sobre suma de números en base diez para explicar:

  1. Por qué diez cuadrados se pueden “agrupar” en un rectángulo.

  2. Cómo se ve reflejada esta “agrupación” en el cálculo.

versión impresa

Estas son dos maneras para calcular el valor de . En el diagrama, cada rectángulo representa 0.1 y cada cuadrado representa 0.01.

Utiliza lo que sabes sobre unidades en base diez y sobre suma para explicar:

  1. Por qué diez cuadrados se pueden “agrupar” en un rectángulo.

  2. Cómo se ve reflejada esta “agrupación” en el cálculo.

Problema 2

Encuentra el valor de dibujando un diagrama. ¿Puedes hallar la suma sin agrupar? ¿Sería útil agrupar algunas piezas? Explica tu razonamiento.

Problema 3

Calcula . Comprueba tu cálculo comparándolo con el diagrama de la pregunta anterior.

Problema 4

Encuentra cada suma.

  1. El cuadrado más grande representa 1, el rectángulo más grande representa 0.1, el cuadrado más pequeño representa 0.01 y el rectángulo más pequeño representa 0.001.

¿Estás listo para más?

Problema 1

En una tierra lejana y mágica utilizan joyas para su sistema de trueque. Las joyas son valoradas y clasificadas según su rareza. Cada joya vale 3 veces lo que vale la joya inmediatamente debajo de ella en la clasificación. La clasificación es roja, anaranjada, amarilla, verde, azul, índigo y violeta. Entonces, una joya roja vale 3 joyas anaranjadas, una joya verde vale 3 joyas azules, y así sucesivamente.

  1. Si tienes 500 joyas violeta y deseas intercambiarlas de manera que cargues la menor cantidad posible de joyas, ¿con qué joyas quedarías?

  2. Supón que tienes 1 joya anaranjada, 2 joyas amarillas y 1 joya índigo. Si te dan 2 joyas verdes y 1 joya amarilla, ¿cuál es el menor número de joyas que podría representar el valor de las joyas que tienes?

Actividad 2: Restar decimales de longitudes diferentes

Problema 1

Para representar , Diego y Noah dibujaron diagramas diferentes. Cada rectángulo representaba 0.1. Cada cuadrado representaba 0.01.

  • Diego primero dibujó 4 rectángulos para representar 0.4. Luego, reemplazó 1 rectángulo por 10 cuadrados y tachó 3 cuadrados para representar la resta de 0.03. Así, quedó con 3 rectángulos y 7 cuadrados en su diagrama.

  • Noah dibujó primero 4 rectángulos para representar 0.4. Luego, tachó 3 rectángulos para representar la resta. Así, quedó con 1 rectángulo en su diagrama

¿Estás de acuerdo con que algún diagrama representa correctamente ? Discute tu razonamiento con un compañero.

Problema 2

Para representar , Elena dibujó otro diagrama. Ella también comenzó por dibujar 4 rectángulos. Luego, reemplazó los 4 rectángulos por 40 cuadrados y tachó 3 cuadrados para representar la resta de 0.03. Así, quedó con 37 cuadrados en su diagrama. ¿Su diagrama es correcto? Discute tu razonamiento con un compañero.

Problema 3

Encuentra cada diferencia. Si tienes dificultades, puedes utilizar el applet para representar cada expresión y hallar su valor.

Prepárate para explicar tu razonamiento.

  • El applet tiene herramientas que crean cada uno de los bloques en base diez. Esta vez deberás decidir el valor de cada bloque antes de empezar.  

  • Selecciona una herramienta Bloque y luego haz clic en la pantalla para colocarlo.

Haz clic en la herramienta Mover cuando hayas terminado de elegir los bloques.

Resta borrando con la herramienta Borrar, no tachando.

versión impresa

Encuentra cada diferencia. Explica o muestra tu razonamiento.

¿Estás listo para más?

Problema 1

En una tierra lejana y mágica usan joyas para su sistema de trueque. Las joyas son valoradas y clasificadas según su rareza. Cada joya vale 3 veces la joya inmediatamente debajo de ella en la clasificación. La clasificación es roja, anaranjada, amarilla, verde, azul, índigo y violeta. Entonces, una joya roja vale 3 joyas anaranjadas, una joya verde vale 3 joyas azules, y así sucesivamente.

En un almacén, un cliente hace una compra por un valor total de 2 joyas amarillas, 2 joyas verdes, 2 joyas azules y 1 joya índigo. Si el cliente llegó al almacén con 1 joya roja, 1 joya amarilla, 2 joyas verdes, 1 joya azul y 2 joyas violeta, ¿con qué joyas se va? Supón que el vendedor le da su cambio usando la menor cantidad de joyas posible.

Resumen de la lección

Los diagramas en base diez representan colecciones de unidades en base diez (decenas, unidades, décimas, centésimas, etc.). Usarlos puede ayudarnos a entender las sumas de decimales.

Supongamos que estamos encontrando . En este diagrama un cuadrado representa 0.01 y un rectángulo (formado por diez cuadrados) representa 0.1.

Para encontrar la suma, podemos “agrupar” 10 centésimas en 1 décima (o componerla).

Ahora tenemos 2 décimas y 1 centésima, entonces .

También podemos usar el cálculo vertical para encontrar .


Observa cómo esta representación también muestra que 10 centésimas se agrupan en 1 décima (o la componen).

Esto funciona para cualquier posición decimal. Supongamos que estamos encontrando . En este diagrama un rectángulo pequeño representa 0.001.

Podemos agrupar 10 milésimas en 1 centésima (o componerla).

La suma es 2 centésimas y 1 milésima.

Este es el cálculo vertical de .

Los diagramas en base diez también nos pueden ayudar a entender la resta. Supongamos que estamos encontrando . Este diagrama muestra 0.23, o 2 décimas y 3 centésimas:

Restar 7 centésimas significa quitar 7 cuadrados pequeños, pero no tenemos suficientes para quitar. Como 1 décima es igual a 10 centésimas, podemos “desagrupar” (o descomponer) una de las décimas (1 rectángulo) en 10 centésimas (10 cuadrados pequeños).

Ahora tenemos 1 décima y 13 centésimas, de las que podemos quitar 7 centésimas.

Nos quedan 1 décima y 6 centésimas, entonces .

Este es el cálculo vertical de :

Observa cómo esta representación también muestra que una décima se desagrupó (o descompuso) en 10 centésimas para poder restar 7 centésimas.

Esto funciona para cualquier posición decimal. Supongamos que estamos encontrando . Este diagrama muestra 0.023.

Queremos quitar 7 milésimas (7 rectángulos pequeños). Podemos “desagrupar” (o descomponer) una de las centésimas en 10 milésimas.

Ahora podemos quitar 7 milésimas.

Nos quedan 1 centésima y 6 milésimas, entonces .

Este es el cálculo vertical de .